Інформатика для групи 2-2, 2-3. Урок 15,16. Тема: Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач.

Урок 15-16

Тема: Розв’язування рівнянь, систем рівнянь, оптимізаційних задач.

Ви дізнаєтеся:

v які сучасні цифрові засоби можна застосувати для розв’язування рівнянь та їх систем;

v як знаходити наближений розв’язок рівняння в середовищі табличного процесора;

v які задачі називають оптимізаційними;

v як розв’язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора

Багато задач економіки, екології, фізики, хімії, механіки, біології можна описати за допомогою математичних моделей — деяких математичних співвідношень або їх систем. Математичні моделі дають змогу передбачити хід процесу, розрахувати вихідні параметри процесу, керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками. Але тільки обмежене коло практичних задач можна описати рівняннями чи їх системами, розв’язки яких ви навчилися знаходити в курсі математики. У складних випадках або для перевірки розв’язки більш простих завдань використовують різні спеціальні програмні засоби.

Одним з додатків, доступних у сучасних смартфонах, є Photomath (див. відео https://vimeo.com/147764920 ),  за допомогою якого можна просто навести камеру на записаний від руки чи надрукований математичний вираз й отримати покрокову інструкцію щодо його розв’язування.

У додатку є можливість виконувати операції із цілими та дробовими числами, знаходити степені та корені, значення логарифмічних функцій; спрощувати алгебраїчні вирази; розв’язувати лінійне, квадратичне, раціональне, нераціональне, логарифмічне, експоненціальне, тригонометричне рівняння; знаходити розв’язки систем рівнянь, обчислювати похідні та інтеграли; виконувати тригонометричні перетворення, обчислення тригонометричних значень, пошук періодів тригонометричних функцій, обчислення з тригонометричними виразами; розпізнавати й описувати математично графіки елементарних функцій.

Графічний спосіб розв’язування рівнянь та їх систем підтримується в сервісі Geogebra (https://www.geogebra.org ) засобами графічного калькулятора 

(мал. 12.1).

Аналітичний розв’язок рівнянь та їх систем з покроковим поясненням методу розв’язування можна отримати у веб-сервісі Mathway 

( https://www.mathway.com )  Наприклад, на малюнку 12.2 продемонстровано процес розв’язування рівняння x3 + x2 – 3x – 2 = 0.

Самостійне завдання.

Вправа 1. Система рівнянь.

Завдання. Знайдіть роз в’язок системи рівнянь   

Порівняйте результати, отримані графічним й аналітичним методами в сервісах Geogebra та Mathway.

1. Відкрите в браузері графічний калькулятор сервісу Geogebra за посиланням https://www.geogebra.org/graphing.

2. У полі для введення функцій введіть перше та друге рівняння системи (мал. 12.3). Завершуйте введення натисненням клавіші Enter. Візьміть до уваги, що ім’я лінії побудови система додає автоматично.

3. Клацніть на точку перетину графіків кожного з рівнянь системи в області побудови (мал. 12.4).

4. Отримайте результат, що є розв’язкою системи.

5. У новій вкладці браузера відкрийте сервіс Mathway за посиланням https://www.mathway.com/ru/Algebra.

6. Запишіть рівняння системи через кому в полі введення:

 x – y = 5, 2x + y = 1

7. Оберіть завдання: розв’язати за допомогою заміни. Перегляньте пояснення до ходу розв’язування. Перевірте, чи ви отримали однаковий результат.

8. Клацніть ще раз на записі системи рівняння та оберіть інший спосіб розв’язування — графічним методом. Розгляньте пояснення до ходу розв’язування.

Тема: Як знаходити наближений розв’язок рівняння в середовищі табличного процесора?

Задача знаходження коренів рівнянь є однією з найважливіших для практики задач математики. Корені рівнянь не часто можна знайти точно. Здебільшого на практиці задача зводиться до приблизного знаходження кореня. Одним із засобів для наближеного знаходження кореня рівняння, яке записується деякою цільовою функцією, є використання інструмента Підбір параметра табличного процесора MS Excel (мал.12.5).

В електронній книзі формулу обчислення цільової функції записують у певну клітинку, яку також називають цільовою. Цільова функція залежить від параметрів (часто — від одного параметра), значення яких зберігаються в інших клітинках електронної таблиці. Власне кажучи, задача полягає в доборі таких значень параметрів, за яких у цільовій клітинці буде отримано бажаний результат.

Наприклад:

Нам потрібно знайти число х, яке є коренем рівняння х² + 2х + 1 = 0. Для цього в одну з клітинок електронної таблиці слід увести формулу цільової функції. Це буде цільова клітинка (на малюнку 12.6 клітинка С3).

Далі необхідно виконати вказівку Дані/Аналіз «Що якщо»/Підбір параметра та заповнити поля у вікні, що відкриється (мал. 12.7):

-  поле Установити у клітинці має містити адресу цільової клітинки;

- у поле Значення слід ввести значення, якого має набути цільова функція;

- у поле Змінюючи значення клітинки потрібно ввести адресу клітинки-параметра. Наприклад, на малюнку 12.7 параметр міститиметься у клітинці С2, і якщо в цільовій клітинці С3 потрібно отримати значення 0, вікно Підбір параметра слід заповнити так, як на малюнку 12.7.

На завершення потрібно клацнути кнопку ОK. У цільовій клітинці буде відображено значення, якого має набувати цільова функція, а в клітинці параметра — шукане значення параметра. На малюнку 12.8 показано, як у клітинці С2 знайдено значення параметра (наближене число до –1), за якого цільова функція у клітинці С3 набуває значення 0. Тобто фактично розв’язано рівняння х² + 2х + 1 = 0.

Добір параметра майже завжди дає наближені значення результату. Тому, якщо в клітинці параметра після його добору виводиться число 4,99999, то, швидше за все, справжнім розв’язком задачі є число 5. Використовуючи засіб Підбір параметра, клітинку параметра можна залишити порожньою, однак бажано попередньо визначити деяке початкове значення, адже від цього залежить швидкість отримання результату (особливо коли йдеться про складні цільові функції), а в деяких випадках — і сам результат. Якщо цільова функція складна, може виникнути ситуація, коли не одне, а кілька значень параметра відповідають її шуканому значенню. Яке з них буде знайдено, залежить від початкового значення в клітинці параметра. У таких випадках, перш ніж добирати параметр, доцільно побудувати графік цільової функції, щоб визначити початкове значення параметра наближено.

Тема: Які задачі називають оптимізаційними?

У багатьох задачах потрібно не просто знайти деякий розв’язок, а дібрати серед усіх розв’язків найкращий (оптимальний). Ідеться про такі задачі, як підбір збалансованого раціону харчування, оптимізація асортименту продукції, оптимізація транспортних перевезень та багато інших, — їх ще називають оптимізаційними.

Перш ніж розпочинати розв’язування оптимізаційної задачі, потрібно описати її в математичному вигляді, тобто побудувати її математичну модель. Модель оптимізаційної задачі складається з таких елементів:

- змінні - невідомі величини, значення яких потрібно знайти в результаті розв’язування задачі;

- цільова функція - величина, яка залежить від змінних і значення якої потрібно максимізувати чи мінімізувати;

- критерій - вимога мінімізації чи максимізації цільової функції;

- обмеження - умови, яким мають задовольняти змінні. Найпростішою оптимізаційною задачею вважається задача пошуку максимального або мінімального значення функції однієї змінної.

Наведемо приклад математичної моделі такої задачі:

f(x) = x + sin x → min;

0 ≤ x ≤ 10.

Тут змінною є х, цільовою функцією - f(x), критерієм - вимога мінімізації (→ min), а обмеженнями — 0 ≤ x ≤ 10.

Добре дослідженим і важливим для планування виробничих процесів різновидом оптимізаційних задач є задачі лінійного програмування (ЗЛП), тобто задачі, у яких цільова функція та обмеження є лінійними. У загальному випадку математична модель ЗЛП має такий вигляд:

Тут x₁, ... , x_n - змінні; a_ij, b_i та c_i - деякі числа; (1) - цільова функція разом із критерієм; (2) і (3) - обмеження. Зазначимо, що обмеження (3) називають прямими, а обмеження (2) — непрямими. У непрямих обмеженнях замість знаків «≤» можуть стояти знаки «≥» або «=». Крім того, можуть накладатися додаткові обмеження, наприклад, може вимагатися, щоб змінні були цілочисельними.

Загалом алгоритм розв’язування оптимізаційної задачі такий.

- Введення позначень. Потрібно визначити, яка змінна яку величину позначатиме.

- Створення цільової функції та критерію. Слід визначити, яка величина максимізуватиметься чи мінімізуватиметься, та записати формулу залежності цієї величини від змінних, тобто формулу цільової функції. Нею може бути вартість продукції, обсяг прибутку, обсяг витрат на виробництво та перевезення.

- Складання системи обмежень. Обмеження — це нерівності або рівності, яким мають задовольняти значення змінних.

- Розв’язування задачі. Деякі оптимізаційні задачі можна розв’язати аналітично, без використання комп’ютера, проте цей спосіб надто трудомісткий.

Тема: Як розв’язують оптимізаційні задачі в середовищі табличного процесора?

У середовищі табличного процесора Microsoft Excel передбачено спеціальний інструмент для розв’язування оптимізаційних задач — Пошук розв’язку. Для його налаштування виконують такі дії:

1. У меню Файл обирають Параметри.

2. У вікні Параметри Excel у меню в лівій частині вікна обирають Надбудови.

3. У нижній частині вікна Управління надбудовами Microsoft Office у списку Керування обирають Надбудови Excel та натискують кнопку Перейти…

4. У вікні Надбудови ставлять позначку біля надбудови Пошук розв’язання

(мал. 12.11).

5. Завершують дію натисненням кнопки OK. Пошук розв’язку запускається за допомогою Дані/Аналіз/Розв’язувач.

Цей засіб шукає розв’язок оптимізаційної задачі за ітеративним алгоритмом, багаторазово змінюючи значення змінних на малу величину й таким чином наближуючи цільову функцію до оптимального значення.

Після виконання вказівки Дані/Аналіз/Розв’язувач відкриється вікно Параметри розв’язувача.

Розглянемо призначення основних елементів діалогового вікна Параметри розв'язувача.

- У полі Оптимізувати цільову функцію вказують адресу цільової клітинки (ця клітинка має містити формулу цільової функції).

- За допомогою перемикача До вказують, до яких значень потрібно оптимізувати цільову функцію: максимізувати, мінімізувати або отримати задане значення.

- У полі Змінюючи клітинки змінних вказують адреси клітинок, де містяться аргументи цільової функції.

- Область Підлягає обмеженням призначена для відображення списку граничних умов поставленої задачі.

- Кнопка Додати призначена для створення обмежень.

- Кнопку Змінити використовують для редагування наявних обмежень.

- Кнопка Видалити призначена для скасування виділеного обмеження.

- Кнопку Параметри використовують для завантаження або збереження оптимізаційної моделі, визначення граничного часу роботи засобу та настроювання інших параметрів.

- Кнопка Скинути призначена для очищення полів вікна і відновлення значень параметрів пошуку розв’язку, використовуваних за замовчуванням.

- За допомогою кнопки Розв’язати запускають процес пошуку розв’язку.

- Кнопка Закрити призначена для виходу з вікна без пошуку розв’язку (усі настройки зберігаються).

Отже, у вікні Параметри розв’язувача потрібно ввести дані про змінні, цільову функцію та обмеження і клацнути кнопку Розв’язати.

Коли інструмент Розв’язувач завершить роботу, буде відображено вікно Результати розв’язувача (мал. 12.13).

Якщо просто клацнути кнопку OK, на аркуші моделі буде відображено оптимальне значення цільової функції та значення змінних, за яких воно досягається. Якщо перед тим вибрати перемикач Відновити первинні значення, то всі значення залишаться такими самими, як і до пошуку розв’язку, а якщо вибрати елемент у списку Звіти, то буде створено аркуш з детальним аналізом розв’язку задачі.

Перегляд відео.

MS Excel Задача оптимізації. Пошук рішення.

( https://www.youtube.com/watch?v=ZT4Mo95F8y8)